Kelli mezoni va ruletka
Kelli mezoni ustunlikka ega oʻyinchiga qancha tikish kerakligini aytadi. Ruletka uchun u aniq javob beradi: hech narsa.
Kelli boʻyicha stavka = ustunlik / toʻlov nisbati. Ustunlik manfiy boʻlsa, formula manfiy ulush beradi, bu esa stavka qoʻymang, degani. Mezon baribir foydali: u ogʻish oʻyinchilari stavkalarini nega aynan shunday oʻlchaganini va boshqa hamma nega stavkani budjetga qarab belgilashi kerakligini tushunishga yordam beradi.
Mezon
Jon Kelli (1956) maʼlum ustunlikka ega qimorboz oʻyin budjetipulOʻyin budjetiOʻyinga ajratilgan jami miqdor. Oʻyin budjetini boshqarish – uning har bir stavka va sessiyada qanchasini xavfga qoʻyishni belgilashdir.Toʻliq oʻqish →ning uzoq muddatli oʻsishini maksimal qilish uchun stavkalarni qanday oʻlchashi kerak, degan savolni qoʻydi. b ga 1 toʻlaydigan, yutish ehtimollikmatematikaEhtimollikNatija yuz berish imkoniyati, 0 dan 1 gacha yoki 0% dan 100% gacha. Bitta raqam: 1/37 = 2,70%.Toʻliq oʻqish →i p va yutqazish ehtimolligi q = 1 − p boʻlgan stavka uchun javob: budjetning f* = (bp − q) / b ulushini tikish. f* musbat boʻlsa, shu ulushni tiking; nol yoki manfiy boʻlsa, stavka qoʻymang. Kelli Bell Labsda ishlagan, uning “A new interpretation of information rate” (“Axborot tezligining yangi talqini”) maqolasi masalani Klod Shennonning axborot nazariyasi doirasiga qoʻygan: shovqinli liniya orqali maslahat oladigan va adolatli nisbatlarda tikadigan qimorboz oʻz budjetini koʻpi bilan liniya axborot uzatadigan tezlikda oʻstira oladi. 1961-yilda Leo Breiman Kelli boʻyicha tikish uzoq muddatda har qanday mohiyatan boshqacha strategiyadan oldinda boʻlishini va belgilangan maqsadga taxminan eng qisqa vaqtda erishishini isbotladi.
Ruletkada Kelli boʻyicha tikish
QizilstavkaQizil18 ta qizil raqamga teng pul stavkasi. Fransuzchasi: rouge.Toʻliq oʻqish → uchun: b = 1, p = 18/37, q = 19/37; f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37. Bitta raqamga stavkastavkaBitta raqamga stavkaBitta raqam, 35:1 toʻlaydi.Toʻliq oʻqish → uchun: b = 35, p = 1/37, q = 36/37; f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295. Har bir standart stavka manfiy Kelli ulushini beradi, chunki har bir stavkaning ustunligi manfiy, oʻsish uchun optimal stavka esa nolga teng. Ruletkada Kelli boʻyicha tikish kazino ustunligi sahifasi aytgan narsani rasmiy tarzda ifodalashdir: manfiy kutilmali stavka oʻyin budjetini oʻstiradigan biror oʻlcham yoʻq.
Kelli qayerda haqiqatan qoʻllanilgan
Ogʻish oʻyinchilarida ustunlik ham, stavka oʻlchami muammosi ham bor edi. Jagger, García-Pelayolar va Eudaemonlar oʻlchangan ustunliklariga qancha tikishni hal qilishlari kerak edi: kam tikish ustunlikni behuda ketkazadi, ortiqcha tikish esa ustunlik namoyon boʻlguncha butunlay yutqazish xavfini tugʻdiradi. 30 tadan 1 marta tushadigan katakjihozKatakRotordagi 37 raqamli boʻlinmaning bittasi. Shuningdek: slot, cup.Toʻliq oʻqish → uchun Kelli har aylantirishda shu raqamga budjetning 0,57% ini tikishni aytadi: $10 000 bilan bir aylantirishga taxminan $57, bu bir aylantirishda taxminan 0,054% odatiy oʻsish yoki 1 000 aylantirishda ×1,7 beradi. Oʻrtacha daromad buning ikki baravari, bir aylantirishga 0,11%, ammo Kelli oʻrtacha budjetni emas, odatiy budjetni koʻzlaydi; oʻrtachani esa bir nechta omadli seriya shishiradi. Ustunlik bahosi noaniq boʻlgani uchun amalda odatda yarim Kelli tanlanadi.
Odatiy va oʻrtacha
Odatiy oʻyin budjeti bilan oʻrtacha budjet orasidagi farq katta. 25 tadan 1 marta tushadigan katakni oling: ustunlik 44%, Thorp oʻz qurilmasi uchun keltirgan koʻrsatkich. Kelli unga budjetning 1,26% ini tikadi. 1 000 aylantirishdan keyin odatiy budjet taxminan 11,5 baravar oʻsgan boʻladi, bir nechta juda omadli seriya yuqoriga tortgan oʻrtacha esa taxminan 249 baravar. Kellidan koʻproq tikish oʻrtachani oshiradi va odatiy natijani pasaytiradi: Kelli stavkasining ikki baravarida odatiy budjet faqat ikki baravar boʻladi, Kelli stavkasining ikki yarim baravarida esa u qisqaradi, garchi har bir stavka hamon 44% ustunlikka ega boʻlsa ham. Kamroq tikish arzonga tushadi: stavkaning yarmi oʻsishning taxminan toʻrtdan uch qismini saqlab qoladi.
Ustunlik taxmin boʻlsa
Kelli ustunlik maʼlum, deb faraz qiladi. Stolda u baholanadi va baho odatda haddan tashqari yuqori boʻladi. Epsteinning Thorpning 44% iga asoslangan misolida qoʻsh nolgʻildirakNolHech bir teng pul, oʻn ikkilik yoki ustun stavka qoplamaydigan yagona yashil katak; kazino ustunligining manbai. Shuningdek: bitta nol, 0.Toʻliq oʻqish →li gʻildirakning 1 225 aylantirishida 49 marta tushgan raqam bor: 25 tadan 1 marta, 44% ustunlik, 1,26% Kelli stavkasi. Ammo adolatli qoʻsh nolli gʻildirakda 38 ta raqam bor va ulardan eng koʻp tushgani 1 225 aylantirishda taxminan toʻqqiz holatdan birida 49 yoki undan koʻp marta tushadi. Har qanday yozuvdagi eng koʻp tushgan raqam omad eng koʻp yordam bergan raqam hamdir, shuning uchun haqiqatan ogʻishli katak ham yozuvda oʻzidan yaxshiroq koʻrinadi: bu gʻolib laʼnati. Agar bu katak aslida ogʻishsiz boʻlsa, Kelli stavkasi shunchaki oʻrtacha 5,26% yutqazadigan stavkadir. Odatiy javoblar: Kelli stavkasining bir ulushini tikish va ustunlik yangi yozuvda ham saqlanib qolguncha sanashda davom etish (Ruletka gʻildiragidagi ogʻishni qanday aniqlash mumkin sahifasiga qarang).
Ustunlikka ega odamlar
Ustunlikni bilish undan yaxshi foydalanish bilan bir xil emas. Haghani va Dewey (2016) 61 kishiga $25 dan berib, 60% hollarda gerb tushadi, deb aytilgan tangaga yarim soat stavka qoʻyishni taklif qilishdi; yutuqlar $250 bilan cheklangan edi (oʻyinchilar cheklov haqida faqat unga yetganda bilishgan). Kelli har safar gerbga budjetning 20% ini tikishni aytadi, mualliflar esa 10–20% lik barqaror stavkalar taxminan 95% hollarda cheklovga yetadi, deb hisoblashadi. Oʻyinchilarning faqat 21% i unga yetdi. 28% i hamma pulini yoʻqotdi, 61 kishidan 18 tasi bitta tashlashga hammasini tikdi, taxminan uchdan bir qismi oʻyinni boshlagan $25 idan kamroq bilan yakunladi, oʻrtacha toʻlovpulToʻlovYutuqli stavka qaytaradigan miqdor; qaytarilgan stavkadan tashqari “X ga 1” nisbatida koʻrsatiladi.Toʻliq oʻqish → esa $91 boʻldi. 61 kishidan faqat beshtasi Kelli mezoni haqida eshitgan edi. Ustunlik boʻlsa, uni saqlab qolishingizni stavkalar oʻlchami hal qiladi; ustunlik boʻlmasa, adolatli gʻildirakdagi kabi, hech qanday oʻlcham yordam bermaydi.
Uning oʻrniga nimadan foydalanish kerak
Ustunlik boʻlmasa, stavka oʻlchami oʻsish masalasi emas, budjet masalasidir: stavka = bir aylantirishga sarflashga tayyor boʻlgan summangiz, u soatlik budjet va stol surʼatidan kelib chiqadi (Ruletka oʻyin budjetini boshqarish sahifasi). Kellining oddiy oʻyinchiga qoʻshgan hissasi javobining aniqligidir: nol. Noldan yuqori tikkan har bir summangiz oʻynash narxi boʻlib, uni siz tanlaysiz, hech qanday formula optimallashtirmaydi.
Kasr Kelli va “pul boshqaruvi” haqida eslatma
“Ruletka uchun Kelli” deb sotiladigan va har bir stavkaga budjetning qatʼiy foizini tavsiya qiladigan tizimlar kichrayib boruvchi stavka bilan bir xil stavka qoʻyishstrategiyaBir xil stavka qoʻyishHar aylantirishda bir xil miqdorga stavka qoʻyish. Har bir oshirish tizimi taqqoslanadigan asos.Toʻliq oʻqish →dir. Ular aylanmapulAylanmaSessiya yoki davrda tikilgan jami miqdor, qayta tikilgan yutuqlarni ham hisoblaydi. Shuningdek: handle, action.Toʻliq oʻqish →ning 2,70% ini yoʻqotadi va yutqazgan sari stavka kichrayishi sababli butunlay yutqazishni ehtimoldan yiroq qilmaydi, faqat sekinlashtiradi. Bu budjetni uzoqroq yetkazishning oqilona usuli; ammo bu Kelli emas, Kelli toʻxtang, degan boʻlardi.
Formula
Savollar
Faqat ogʻishli gʻildiraklaboratoriyaOgʻishli gʻildirakJismoniy nuqsonlari ayrim kataklarga tushish ehtimolini 1/37 dan yuqori qiladigan gʻildirak. Kam uchraydi; faqat minglab qayd etilgan aylantirishlar bilan aniqlanadi.Toʻliq oʻqish → yoki vaqtni oʻlchovchi qurilma orqali oʻlchangan ustunlik boʻlsa. Adolatli gʻildirakda emas.
Chunki ustunlik bahosida xato bor, ortiqcha tikish esa kam tikishdan qimmatroqqa tushadi. Yarim Kelli oʻsishning toʻrtdan uch qismini dispersiyamatematikaDispersiyaNatijalar kutilgan qiymat atrofida qanchalik keng tarqalishini oʻlchaydigan miqdor. Bitta raqamga stavkada yuqori, teng pul stavkalarda past.Toʻliq oʻqish →ning toʻrtdan biri evaziga beradi.
Yoʻq. Kelli ustunlik mavjud boʻlganda oʻsishni optimallashtiradi. Oʻyin budjetini boshqarish esa ustunlik yoʻq boʻlganda xarajatni nazorat qiladi.
Qiziqarli matematika
Avval oʻzingiz yechib koʻring. Har bir yechim yopiq turadi; tayyor boʻlganingizda oching.
Thorp va Shennonning bashorat qurilmasi taxminan 44% ustunlik bergan. Bashorat qilingan bitta raqamga Kelli oʻyin budjetipulOʻyin budjetiOʻyinga ajratilgan jami miqdor. Oʻyin budjetini boshqarish – uning har bir stavka va sessiyada qanchasini xavfga qoʻyishni belgilashdir.Toʻliq oʻqish →ning 1,26% ini tikishni aytadi. Agar xuddi shu 44% ustunlik qoʻshni beshta raqamga taqsimlangan bitta stavkada boʻlsa-chi?
Yechimni koʻrsatish
Javob Unda Kelli budjetning 7,1% ini tikishni aytadi va budjet deyarli olti baravar tezroq oʻsadi: 1 000 stavkada taxminan 1,25 million baravar, taxminan 11,5 baravarga qarshi.
44% ustunlikka ega bitta raqamga stavkastavkaBitta raqamga stavkaBitta raqam, 35:1 toʻlaydi.Toʻliq oʻqish → 0,04 ehtimollik bilan yutadi, chunki 36 × 0,04 = 1,44. Kellining tikilgan summasi – ustunlikning toʻlov nisbatiga boʻlinmasi: 0,44/35 = 1,26%. Bir stavkadagi odatiy oʻsish 0,04 × ln(1 + 35 × 0,0126) + 0,96 × ln(1 − 0,0126) ≈ 0,00244, demak 1 000 stavka budjetni taxminan e^2,44 ≈ 11,5 baravar oshiradi.
Bitta tikilgan summani beshta raqamga taqsimlang: stavka 0,20 ehtimollik bilan yutadi va 1 evaziga 36/5, yaʼni 6,2 ga 1 toʻlaydi: ustunlik baribir 44%, chunki 0,2 × 7,2 = 1,44. Kellining tikilgan summasi 0,44/6,2 = 7,10% boʻladi, bir stavkadagi oʻsish esa 0,01404, taxminan 5,75 baravar koʻp. 1 000 stavkada bu e^14,04, taxminan 1,25 million.
Ustunlik bir xil; tebranishlar kichikroq. Beshtadan bir marta yutadigan stavka butunlay yutqazish xavfisiz budjetning kattaroq ulushini koʻtara oladi va Kelli oʻsishi buni ragʻbatlantiradi. Thorp (1984) bu misoldan bashoratchi oʻyinchilar nega sektorgʻildirakSektorGʻildirakdagi kataklarning uzluksiz yoyi; joylashuv jadvalidagi guruhdan farq qiladi.Toʻliq oʻqish →larga tikishini koʻrsatish uchun foydalanadi. Amalda beshta qoʻshnistavkaQoʻshnilarGʻildirakda bir raqam va uning ikki yonidagi kataklar: beshta bitta raqamga stavka.Toʻliq oʻqish → eng yaxshi bitta raqamga qaraganda biroz pastroq ustunlikka ega (“Ruletkada ustunlik bilan oʻynash” sahifasiga qarang).
Oʻyinchi har biri 37 dan 1 oʻrniga 25 dan 1 marta tushadigan ikkita qoʻshni katakjihozKatakRotordagi 37 raqamli boʻlinmaning bittasi. Shuningdek: slot, cup.Toʻliq oʻqish → topdi. U ular orasidagi boʻlingan stavkastavkaBoʻlingan stavkaIkki qoʻshni raqam, 17:1 toʻlaydi.Toʻliq oʻqish →ni 17 ga 1 dan tikishi kerakmi yoki har bir raqamga alohida bitta raqamga stavka qoʻyishi kerakmi? Kelli qancha deydi va budjet bitta shunday katakka nisbatan qanchalik tez oʻsadi?
Yechimni koʻrsatish
Javob Farqi yoʻq: boʻlingan stavkaga budjetning 2,59% i yoki har bir raqamga 1,29%. Odatiy budjet 1 000 aylantirishda taxminan 155 baravar oʻsadi, bitta katak bilan esa 11,5 baravar.
Boʻlingan stavka 2/25 = 0,08 ehtimollikmatematikaEhtimollikNatija yuz berish imkoniyati, 0 dan 1 gacha yoki 0% dan 100% gacha. Bitta raqam: 1/37 = 2,70%.Toʻliq oʻqish → bilan yutadi va 17 ga 1 toʻlaydi, shuning uchun tikilgan har bir birlikpulBirlikTizim yoki oʻyinchi asos qiladigan boshlangʻich stavka. Oshirish tizimlari istalgan stolda qoʻllanishi uchun birliklarda tasvirlanadi.Toʻliq oʻqish →ka 18 × 0,08 = 1,44 qaytaradi: ustunlik 44%, bitta ogʻishli katakdagi bilan bir xil. Kellining tikilgan summasi – ustunlikning toʻlov nisbatiga boʻlinmasi: 0,44/17 = 2,59%.
Har biri 1,29% lik ikkita bitta raqamga stavka aynan bir xil natija beradi. Ikki raqamdan biri tushsa, bitta jetonpulJetonBelgilangan miqdorni ifodalovchi va stavka qoʻyish uchun joylashuv jadvaliga qoʻyiladigan belgi. Shuningdek: check.Toʻliq oʻqish → 35 ga 1 yutadi, ikkinchisi yoʻqotiladi, sof natija 34 × 1,29% = budjetning 44% i, xuddi boʻlingan stavka toʻlaganidek; hech biri tushmasa, ikkalasi ham yoʻqotiladi.
Bir aylantirishdagi oʻsish 0,00505, bitta katakdagi 0,00244 ga qarshi, shuning uchun 1 000 aylantirishda odatiy budjet e^2,44 ≈ 11,5 baravar emas, e^5,046 ≈ 155 baravar oʻsadi. Ikkita yaxshi raqam bittasining ikki baravaridan ancha qimmatroq, shuning uchun ogʻishdan foydalanuvchi oʻyinchilar raqamlar guruhiga tikadi. Thorp (1984) xuddi shu taqqoslashni bajaradi.
Biroz hazil
Ruletkada oʻsish uchun optimal stavka hamma allaqachon biladigan son.
Manbalar
- Kelly, J. L. “A new interpretation of information rate.”
- Breiman, L. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Haghani, V. & Dewey, R. “Rational decision-making under uncertainty: observed betting patterns on a biased coin.”