Butunlay yutqazish xavfi
Maqsadga yetishdan oldin butun oʻyin budjetingizni yoʻqotish ehtimolligi.
Teng pul stavkalari uchun butunlay yutqazish xavfi qimorbozning yemirilishi formulasiga boʻysunadi. $500 oʻyin budjeti, $10 lik stavkalar va $600 maqsad bilan siz hollarning taxminan 57% ida maqsadga yetasiz, qolganida esa hammasini yutqazasiz.
Savol
Sizda a birlikpulBirlikTizim yoki oʻyinchi asos qiladigan boshlangʻich stavka. Oshirish tizimlari istalgan stolda qoʻllanishi uchun birliklarda tasvirlanadi.Toʻliq oʻqish → oʻyin budjetipulOʻyin budjetiOʻyinga ajratilgan jami miqdor. Oʻyin budjetini boshqarish – uning har bir stavka va sessiyada qanchasini xavfga qoʻyishni belgilashdir.Toʻliq oʻqish → bor va har safar bir birlikdan yutish ehtimolligimatematikaEhtimollikNatija yuz berish imkoniyati, 0 dan 1 gacha yoki 0% dan 100% gacha. Bitta raqam: 1/37 = 2,70%.Toʻliq oʻqish → p = 18/37, yutqazish ehtimolligi q = 19/37 boʻlgan teng pul stavkasistavkaTeng pul stavkasiQizil/qora, toq/juft, yuqori/past. 18 ta raqam, 1:1 toʻlaydi.Toʻliq oʻqish →ga tikib, a + b birlikka yetmoqchisiz. Nolga tushishdan oldin maqsadga yetish imkoniyati qancha? Javobni 1650-yillarda Paskal, Ferma va Gyuygens topgan va bu ehtimolliklar nazariyasidagi eng qadimgi natijalardan biri.
Qimorbozning yemirilishi formulasi
P(maqsadga yetish) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). Butunlay yutqazish xavfimatematikaButunlay yutqazish xavfiMaqsadga yoki belgilangan aylantirish soniga yetishdan oldin butun oʻyin budjetini yoʻqotish ehtimoli.Toʻliq oʻqish → – birdan shuni ayirganiga teng. q/p = 19/18 ≈ 1,0556 boʻlganda nisbat birliklar soniga qarab eksponensial oʻsadi, shuning uchun formula kichik birliklarni qattiq jazolaydi: maqsadga yetish uchun qancha koʻp stavka kerak boʻlsa, yoʻlda 2,70% lik “boj” shuncha koʻp marta toʻlanadi.
Uni oʻqish
Kichik birliklar zarar keltiradi. $500 ni $10 lik stavkalar bilan ikki barobarga oshirishga urinish hollarning 6% ida muvaffaqiyatli boʻladi; bitta $500 lik stavka bilan esa 48,6% ida. Dadil oʻyin – kamroq va kattaroq stavkalar – manfiy kutilmali oʻyinda maqsadga erishish imkoniyatini maksimal qiladi, chunki ustunlik qoʻllaniladigan marotabalar sonini minimal qiladi. U sizga nima boʻlishining dispersiyamatematikaDispersiyaNatijalar kutilgan qiymat atrofida qanchalik keng tarqalishini oʻlchaydigan miqdor. Bitta raqamga stavkada yuqori, teng pul stavkalarda past.Toʻliq oʻqish →sini ham maksimal qiladi va oqshomni tez tugatadi. Bu teorema “dadil oʻyin optimal” deb ataladi va uni 1965-yilda Dubins va Savage isbotlagan.
Masala qayerdan boshlangan
Bu savol ruletkadan ham qadimiyroq. 1656-yilda Paskal Fermaga jumboq taklif qildi: ikki oʻyinchi uchta zar tashlaydi, har biri 12 ta hisob toshi bilan boshlaydi; 11 tushsa, bitta tosh bir tomonga, 14 tushsa, boshqa tomonga oʻtadi. Ikkalasi ham uni yechdi, bu haqda matematik Pierre de Carcavining maktubi orqali eshitgan Gyuygens esa uni 1657-yilda ehtimolliklar haqidagi birinchi kitobning beshinchi masalasi sifatida javobi bilan, ammo isbotsiz chop etdi. Oʻn birni 27 xil, oʻn toʻrtni esa faqat 15 xil tashlash mumkin, shuning uchun har bir tosh 14 holdan 9 tasida birinchi oʻyinchi tomonga oʻtadi va yuqoridagi formula har birida 12 tadan tosh boʻlganda uning hammasini yutib olishi hammasini yutqazishidan taxminan 1 157 barobar ehtimolliroq ekanini koʻrsatadi. 2,70% lik ustunlik ancha kichik, lekin xuddi shu formula u koʻp stavkalar davomida nima qilishini koʻrsatadi.
Haqiqiy dadil stavka
2004-yil aprelida yosh angliyalik Ashley Revell bor-budini, jumladan kiyimlarini ham sotib, $135 300 ni Las-Vegasdagi Plaza kazinosiga olib bordi. Bir necha kichik stavkadan keyin u butun summani bir marta qizilstavkaQizil18 ta qizil raqamga teng pul stavkasi. Fransuzchasi: rouge.Toʻliq oʻqish →ga tikdi. SharchajihozSharchaRotor yoʻnalishiga qarshi yoʻl boʻylab otib yuboriladigan kichik shar. Zamonaviy sharchalar ivorin yoki teflondan boʻlib, 18–21 mm.Toʻliq oʻqish → qizil 7 ga tushdi va u $270 600 bilan chiqib ketdi. Qoʻsh nolgʻildirakNolHech bir teng pul, oʻn ikkilik yoki ustun stavka qoplamaydigan yagona yashil katak; kazino ustunligining manbai. Shuningdek: bitta nol, 0.Toʻliq oʻqish →li gʻildirakda oʻsha yagona aylantirish 47,37% imkoniyat edi va unga oʻrtacha $7 121 ga tushdi – bitta stavkadagi 5,26% lik ustunlik. $10 lik stavkalarga taqsimlanganda xuddi shu maqsad deyarli umidsiz boʻlardi. Dadil oʻyin stavkani yaxshi qilmaydi; uni imkon qadar qisqa qiladi.
Maqsadsiz butunlay yutqazish xavfi
Agar siz shunchaki hammasini yutqazguncha oʻynasangiz yoki N ta aylantirishdan keyin toʻxtasangiz, savol “oʻyin budjetim N ta aylantirish ichida nolga tegishi imkoniyati qancha?” degan koʻrinishga keladi. Umumiy N uchun yopiq formula yoʻq, lekin bu saytdagi simulyatorlar uni hisoblaydi: qizilga $10 dan tikilgan $500 lik oʻyin budjeti 100 aylantirishda deyarli hech qachon tugamaydi (1% dan kam), 500 aylantirishda hollarning taxminan 9% ida, 5 000 aylantirishda esa taxminan 95% ida tugaydi. Toʻxtash qoidasi boʻlmasa, ehtimollik 100% ga intiladi, bu esa kazino ustunligimatematikaKazino ustunligiKazino oʻrtacha har bir tikilgan summadan ushlab qoladigan ulush: Yevropa ruletkasida 2,70%.Toʻliq oʻqish →ning uzoq muddatli koʻrinishidir.
- p10 −$500
- p25 −$500
- mediana −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
Qancha davom etadi va qanchalik oldinga chiqiladi
Yana ikkita klassik natija oʻyinchilar haqiqatan beradigan savollarga javob beradi. Maqsad boʻlmasa, bir xil teng pul stavkalari Yevropa gʻildiragida oʻyin budjetining har bir birligi uchun oʻrtacha 37 aylantirish, Amerika gʻildiragida esa 19 aylantirish davom etadi, chunki har bir aylantirish oʻrtacha birlikning 1/37 qismini (Amerika gʻildiragida 1/19 qismini) oladi: 100 birlik oʻrtacha 3 700 aylantirishga yetadi, garchi bunday sessiyalarning yarmi 3 134 aylantirish ichida tugasa ham (Sessiya davomiyligi va narxi sahifasiga qarang). Oʻyin budjeti qanchalik katta boʻlmasin, Yevropa gʻildiragida qachondir k birlik foydaga chiqish imkoniyati (18/19)ᵏ. Bu bir birlik uchun 95%, oʻn birlik uchun 58%, lekin oʻyin budjeti qanchalik katta boʻlmasin, qachondir 13 birlik foydaga chiqish uchun teng imkoniyat bermaydi; Amerika gʻildiragida imkoniyat (9/10)ᵏ va 7 birlikda yarmidan pastga tushadi.
Sessiya davomiyligi va narxiAmerika ruletka gʻildiragi va qoidalari
Teng imkoniyat uchun oʻyin budjeti
Savolni teskari qoʻying: hammasini yutqazishdan oldin muayyan summani yutish uchun kamida teng imkoniyatga ega boʻlish uchun qancha pul olib kelishingiz kerak? Kichik yutuq uchun koʻp emas. Kattaroq yutuq uchun kerakli oʻyin budjeti keskin oshadi, maʼlum nuqtadan keyin esa hech qanday oʻyin budjeti yetmaydi, chunki hatto cheksiz budjet ham shuncha foydaga chiqish uchun teng imkoniyatdan kamroq beradi. Taylor (2021) buni boshqacha ifodalaydi: Amerika gʻildiragida 100 birlikka yetish uchun teng imkoniyatga ega boʻlish uchun 94 birlik bilan boshlashingiz kerak, yaʼni 6 ni yutish uchun 94 ni xavf ostiga qoʻyasiz. Yevropa gʻildiragida 88 kerak boʻlardi.
Amaliy saboq
Nimaga erishmoqchi ekaningizni hal qiling. Maqsad muayyan yutuq boʻlsa, kam va katta tiking. Maqsad uzoq oqshom boʻlsa, kichik tiking va ustunlik katta aylanmapulAylanmaSessiya yoki davrda tikilgan jami miqdor, qayta tikilgan yutuqlarni ham hisoblaydi. Shuningdek: handle, action.Toʻliq oʻqish →ning 2,70% ini olishini qabul qiling. Maqsad ikkalasi boʻlsa, nimadandir voz kechishga toʻgʻri keladi va odatda bu maqsad boʻladi.
Formula
Savollar
MartingalestrategiyaMartingaleHar bir yutqazishdan keyin stavkani ikki baravar qiladigan oshirish tizimi. Nima qilishi va qilmasligi uchun Strategiya boʻlimiga qarang.Toʻliq oʻqish → uni qisqa sessiyalarda kamaytiradi, uzun sessiyalarda esa keskin oshiradi. Uni kamaytirishning halol yoʻli – kattaroq birlik bilan bir xil stavka qoʻyishstrategiyaBir xil stavka qoʻyishHar aylantirishda bir xil miqdorga stavka qoʻyish. Har bir oshirish tizimi taqqoslanadigan asos.Toʻliq oʻqish →.
Yuqoridagi formula teng pul uchun. Yuqori dispersiyali stavkalarda kichik summalarda butunlay yutqazish ehtimolliroq va maqsadga notekisroq yetiladi; kalkulyatordan foydalaning.
Maqsad tomon har bir qadam butunlay yutqazish tomon har bir qadamdan biroz kamroq ehtimolli; nisbat qadamlar soni boʻyicha jamlanib boradi.
Qiziqarli matematika
Avval oʻzingiz yechib koʻring. Har bir yechim yopiq turadi; tayyor boʻlganingizda oching.
Sizda $100 bor va $1 000 ga yetmoqchisiz, faqat qizilstavkaQizil18 ta qizil raqamga teng pul stavkasi. Fransuzchasi: rouge.Toʻliq oʻqish →ga tikasiz. Birinchi reja: har safar $1 tiking. Ikkinchi reja: $500 dan oshguncha bor pulingizni tiking, keyin $1 000 ga yetish uchun yetarlicha tiking. Qaysi reja yaxshiroq va qanchalik?
Yechimni koʻrsatish
Javob Ikkinchi reja, katta farq bilan. U taxminan 9,0% hollarda $1 000 ga yetadi, bu adolatli 10% ga yaqin. Birinchi reja 10²² urinishdan taxminan 7 tasida muvaffaqiyatga erishadi.
Adolatli oʻyinmatematikaAdolatli oʻyinHech bir tomonda ustunlik boʻlmaydigan oʻyin: har bir stavkaning kutilgan qiymati nol.Toʻliq oʻqish →da nima qilsangiz ham, $100 dan $1 000 ga oʻn holatdan birida yetar edingiz, chunki pulingizning oʻrtacha qiymati $100 da qoladi.
Kazino ustunligi har bir stavkaning 2,70% ini oladi, shuning uchun jami qancha kam tiksangiz, oʻndan birga shuncha yaqin qolasiz. Ikkinchi reja masalani bir nechta stavkada hal qiladi: $100 $200, $400, $800 ga aylanadi, keyin $200 yetarli. U taxminan 9,0% hollarda muvaffaqiyatli boʻladi. Birinchi rejada yurish tugaguncha minglab stavka qoʻyiladi va har birida kichik boʻlgan ustunlik qoʻshilib, deyarli muqarrar butunlay yutqazishga olib keladi.
Bu Dubins–Savage natijasining eng oddiy shakli (Epstein, 2013): kazino foydasiga boʻlgan oʻyinda kerakligicha katta, iloji boricha kam marta tiking.
Sizda $500 bor va $1 000 ga yetmoqchisiz, unga yetishingiz bilan toʻxtaysiz. Siz bir turdagi stavkani tanlaysiz va u bir marta yutguncha yoki pul tugaguncha takrorlaysiz. Qaysi tur eng yaxshi imkoniyat beradi?
Yechimni koʻrsatish
Javob Qizilga bitta $500 lik stavka: 48,6%. Pulni kichikroq stavkalarga taqsimlaydigan har qanday reja yomonroq natija beradi.
Har bir tikilgan summani bitta yutuq yetadigan qilib tanlang: bitta raqamga stavkastavkaBitta raqamga stavkaBitta raqam, 35:1 toʻlaydi.Toʻliq oʻqish →ga $30 $1 050 yutadi, boʻlingan stavkastavkaBoʻlingan stavkaIkki qoʻshni raqam, 17:1 toʻlaydi.Toʻliq oʻqish →ga $60 $1 020 yutadi va hokazo. Keyin pul tugashidan oldin kamida bitta stavka yutish ehtimolini hisoblang. Bitta raqamga oʻn oltita $30 lik stavkaning hammasi (36/37)¹⁶ = 64,5% ehtimollik bilan yutqazadi, demak ular 35,5% hollarda $1 000 ga yetadi.
Jadvalda har bir stavka koʻrsatilgan. Qizil eng yaxshi natija beradi, chunki u maqsadga bitta stavkada yetadi, shuning uchun ustunlik bir marta, $500 dan toʻlanadi. Olti qatorstavkaOlti qatorIkki qoʻshni qatordagi olti raqam, 5:1 toʻlaydi. Fransuzchasi: sixain.Toʻliq oʻqish → ikkinchi oʻrinda, chunki unga faqat uchta stavka kerak. Bitta oʻn ikkilikstavkaOʻn ikkilik1–12, 13–24 yoki 25–36, 2:1 toʻlaydi.Toʻliq oʻqish → stavkasi eng yomoni, 12/37 imkoniyat; hatto $1 000 yoki undan koʻpga yetguncha $250 lik birlikpulBirlikTizim yoki oʻyinchi asos qiladigan boshlangʻich stavka. Oshirish tizimlari istalgan stolda qoʻllanishi uchun birliklarda tasvirlanadi.Toʻliq oʻqish →larda oʻynalganda ham oʻn ikkilik faqat 46,4% hollarda maqsadga yetadi.
Bollman (2024) xuddi shu jadvalni Amerika gʻildiragi uchun tuzadi. Uning oʻn ikkilik qatorida xato bor: u 12/38 = 31,6% boʻlishi kerak.
stavkatikilgan summa × stavkalar soni$1 000 ga yetish ehtimoliBitta raqamga stavka$30 × 1635,5%Boʻlingan stavka$60 × 835,9%Koʻcha stavkasi$90 × 534,5%Burchak$125 × 436,7%Olti qator$166, $166, $16841,2%Oʻn ikkilik$500 × 132,4%Qizil$500 × 148,6%Siz hech qachon tugamaydigan oʻyin budjetipulOʻyin budjetiOʻyinga ajratilgan jami miqdor. Oʻyin budjetini boshqarish – uning har bir stavka va sessiyada qanchasini xavfga qoʻyishni belgilashdir.Toʻliq oʻqish → bilan aylantirishdan-aylantirishga qizilga bir birlik tikasiz. Birinchi aylantirishdan keyin siz bir birlik yutuqda yoki bir birlik zararda boʻlasiz. Qachondir yana aynan teng holatga qaytish ehtimoli qancha?
Yechimni koʻrsatish
Javob 37 dan 36, 97,3%. Amerika gʻildiragida 38 dan 36, 94,7%.
Agar birinchi aylantirish yutsa (37 dan 18 marta), siz bir birlik yutuqdasiz va kazino ustunligi har qanday cheksiz sessiyani pastga tortadi, shuning uchun ertami-kechmi teng holatdan yana oʻtasiz: bu muqarrar. Agar yutqazsa (37 dan 19 marta), siz bir birlik koʻtarilishingiz kerak va qachondir bir birlik oldinda boʻlish ehtimoli 18/19 (yuqoridagi jadvalga qarang).
Birgalikda: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
Umuman olganda, bu ehtimollik 1 dan bir aylantirishni yutish va yutqazish ehtimolliklari orasidagi farqni ayirganiga teng: Yevropa gʻildiragida 1 − 1/37, Amerika gʻildiragida 1 − 2/38. NolgʻildirakNolHech bir teng pul, oʻn ikkilik yoki ustun stavka qoplamaydigan yagona yashil katak; kazino ustunligining manbai. Shuningdek: bitta nol, 0.Toʻliq oʻqish →siz oʻyinda farq yoʻq va ehtimollik 1: hisob har doim tenglikka qaytadi. Epstein (2013) umumiy qoidani beradi.
Paskalning 1656-yilgi jumbogʻi: ikki oʻyinchi uchta zar tashlaydi, har biri 12 ta hisob toshi bilan boshlaydi. Har safar 11 tushganda bitta tosh birinchi oʻyinchiga, 14 tushganda esa bitta tosh ikkinchisiga oʻtadi; boshqa tashlashlar hisobga olinmaydi. Birinchi oʻyinchining 24 tasining hammasini yutib olish ehtimoli qancha? Agar buning oʻrniga bank vazifasini bajaradigan doʻstingizga qarshi har aylantirishda qizilga 1 birlik tiksangiz, har biringizda 12 birlikdan, 24 tasining hammasini yutib olish ehtimolingiz qancha?
Yechimni koʻrsatish
Javob Birinchi oʻyinchi taxminan 1 158 martadan 1 157 marta yutadi. Siz esa qizilda 24 birlikning hammasini faqat taxminan 34% hollarda yutasiz.
Uchta zar 11 ni 27 usulda, 14 ni 15 usulda hosil qiladi, shuning uchun oʻtadigan har bir tosh 42 dan 27 marta, yaʼni 14 dan 9 marta birinchi oʻyinchiga oʻtadi. Har bir tomon 12 dan boshlaganda hammasini olish ehtimoli 1/(1 + r¹²), bu yerda r – qarshi tomon imkoniyatining siznikiga nisbati.
Birinchi oʻyinchi uchun r = 5/9 va (5/9)¹² ≈ 0,00086, demak ehtimollik taxminan 0,99914: imkoniyatlar nisbati 9¹² ga 5¹², yaʼni 282 429 536 481 ga 244 140 625, taxminan 1 157 ga 1. Gyuygens 1657-yilda aynan shu sonlarni chop etgan.
Qizilda nol tufayli r = 19/18 va (19/18)¹² ≈ 1,913: sizning imkoniyatingiz 1/2,913 ≈ 34,3%. Tanga 50% berar edi. Har bir stavkadagi 2,70% lik kazino ustunligi kerak boʻladigan koʻplab stavkalar davomida qoʻshilib, 16 punktlik farqqa aylanadi.
Biroz hazil
Dadil oʻyin optimal. U tez tugaydi ham.
Manbalar
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. Huygensga maktub, 1656-yil 28-sentabr, Pascal Fermatga taklif qilgan masala haqida.
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”