Masala: tugʻilgan kun gʻildiragi
Biror raqam takrorlanguncha qancha aylantirish kerak? Koʻpchilik taxmin qilganidan ancha kam.
37 katakjihozKatakRotordagi 37 raqamli boʻlinmaning bittasi. Shuningdek: slot, cup.Toʻliq oʻqish →li gʻildirakdagi tugʻilgan kun masalasi: atigi 8 aylantirishdan keyin biror raqam allaqachon ikki marta chiqqan boʻlish ehtimoli yarimdan yuqori. Oʻyinchilar takrorlanishlarni qonuniyat deb oʻqiydi; aslida bu adolatli gʻildirakning kutilgan xatti-harakati.
Masala
Adolatli Yevropa gʻildiragini aylantiring. Kamida ikkita aylantirishda bir xil raqam chiqqan boʻlish ehtimollikmatematikaEhtimollikNatija yuz berish imkoniyati, 0 dan 1 gacha yoki 0% dan 100% gacha. Bitta raqam: 1/37 = 2,70%.Toʻliq oʻqish →i yarimdan oshishi uchun nechta aylantirish kerak? Koʻpchilik oʻyinchilar 37 ning yarmi, 18 yoki 19 atrofida, deb taxmin qiladi. Javob – 8.
Yechim
Takrorlanmaslik ehtimolligini hisoblang va uni birdan ayiring. k ta aylantirishdan keyin p(hammasi har xil) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). k = 8 uchun: 1 × 0,973 × 0,946 × 0,919 × 0,892 × 0,865 × 0,838 × 0,811 ≈ 0,44, demak p(biror takrorlanish) ≈ 0,56. k = 14 uchun u 0,93; k = 20 uchun 0,996. Sezgi adashadi, chunki aylantirishlar juftliklari soni k² kabi oʻsadi va istalgan juftlik mos kelishi mumkin.
Stolda bu nega muhim
Oxirgi 20 raqamni koʻrsatadigan natijalar tablosida deyarli har doim kamida bitta, koʻpincha ikki yoki uchta takrorlanish boʻladi. Oʻyinchilar “17 oʻn aylantirishda ikki marta chiqdi” ni koʻrib, 17 issiq, degan xulosaga keladi; tugʻilgan kun hisobi esa oʻn aylantirish ichida takrorlanish 74% hollarda sodir boʻlishini va takrorlangan raqam tasodifiy ekanini aytadi. Takrorlanish haqiqatan sodir boʻlgan; uning maʼnosi esa yoʻq.
Davomiy masala
Muayyan raqam, aytaylik 17, ikki marta chiqishi uchun qancha aylantirish kerak? Bu ancha katta javobli boshqa savol: kutilgan kutish 74 aylantirish, 20 aylantirish ichida ikkita 17 chiqish ehtimolligi esa taxminan 10%. “Biror raqam takrorlanadi” (8 aylantirish) bilan “aynan shu raqam takrorlanadi” (74 aylantirish) orasidagi farq – keyin payqaladigan qonuniyat bilan oldindan qilinadigan bashorat orasidagi butun farqdir.
Sinab koʻring
Demo oʻyinini oʻn aylantirish davomida ishga tushiring va tarixga qarang. Odatda takrorlanish boʻladi. Yana ishga tushiring. Takrorlangan raqam boshqacha boʻladi. Buni oʻn marta qiling – tugʻilgan kun masalasimatematikaTugʻilgan kun masalasiIkki kishining tugʻilgan kuni bir xil boʻlishi ehtimoli yuqori boʻlishi uchun nechta kishi, yoki raqamning qaytalanishi ehtimoli yuqori boʻlishi uchun nechta aylantirish kerakligi haqidagi masala. 37 katakli gʻildirakda 8 ta aylantirish yarmidan ortiq ehtimol beradi.Toʻliq oʻqish →ni koʻrgan boʻlasiz; ming marta qiling (simulyatorlar buni qila oladi) – uni oʻlchagan boʻlasiz.
Formula
Savollar
Aynan, faqat 365 kun oʻrniga 37 katak bilan. Tugʻilgan kunlar uchun 23 kishi 50% beradi; gʻildirak uchun 8 aylantirish 56% beradi.
Taxminan 19 aylantirishdan keyin 50%. Bu ham odatiy hol.
Yoʻq. Bitta gʻildirakdagi minglab aylantirishlar dalolat berishi mumkin; bitta takrorlanish esa hech qachon.
Qiziqarli matematika
Avval oʻzingiz yechib koʻring. Har bir yechim yopiq turadi; tayyor boʻlganingizda oching.
Amerika gʻildiragi yonidagi natijalar tablosi oxirgi 16 ta aylantirishni koʻrsatadi. Unda birorta ham raqam ikki marta uchramasligi qanchalik ehtimolli?
Yechimni koʻrsatish
Javob Taxminan 2,5%: taxminan 40 ta tablodan 39 tasida kamida bitta takror bor.
Aylantirishlarni birma-bir koʻrib chiqing. Birinchi aylantirish istalgan boʻlishi mumkin. Ikkinchisi undan farq qilishi kerak: 38 tadan 37 imkoniyat. Uchinchisi ikkalasidan ham farq qilishi kerak: 38 tadan 36. Oʻn oltinchisi oʻn beshta raqamdan farq qilishi kerak: 38 tadan 23.
Koʻpaytiring: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0,0246.
Takrorsiz tablo – kamyob holat. Takrorli tablo gʻildirak haqida hech narsa demaydi.
Yevropa gʻildiragini oʻn marta aylantirganda 17 aynan besh marta chiqishi ehtimoli qancha? Biror raqam, istalgan raqam, besh yoki undan koʻp marta chiqishi-chi? Va toʻrtta aylantirishda biror raqam kamida uch marta chiqishi-chi?
Yechimni koʻrsatish
Javob 17 aynan besh marta: 315 576 tadan 1. Biror raqam besh yoki undan koʻp marta: taxminan 8 333 tadan 1. Toʻrt aylantirishda biror raqam uch yoki undan koʻp marta: 349 tadan 1.
17 besh marta: oʻnta aylantirishdan qaysi beshtasini tanlang, 252 usul, har biri (1/37)⁵ × (36/37)⁵ ehtimol bilan. Hammasi birga 315 576 tadan 1.
Biror raqam: 37 ta raqamning har biri uchun besh yoki undan koʻp marta tushish ehtimoli 308 325 tadan 1, bu 308 325 tadan 37, yaʼni 8 333 tadan 1 beradi. Ikki raqamning har biri besh martadan tushadigan kamyob holat ikki marta sanaladi, lekin uni chiqarib tashlash bu aniqlikda hech narsani oʻzgartirmaydi.
Toʻrt aylantirishda uch marta: bitta raqam uchun 37⁴ ta mumkin boʻlgan natijadan 4 × 36 + 1 = 145 tasi; 37 ta raqamning istalgani uchun 145/37³ = 349 tadan 1.
Qoʻsh nolgʻildirakNolHech bir teng pul, oʻn ikkilik yoki ustun stavka qoplamaydigan yagona yashil katak; kazino ustunligining manbai. Shuningdek: bitta nol, 0.Toʻliq oʻqish →li gʻildirak uchun tegishli koʻrsatkichlar 359 275 tadan 1, 9 243 tadan 1 va 368 tadan 1. “17” bilan “biror raqam” orasidagi farq – yana oʻsha tugʻilgan kun masalasimatematikaTugʻilgan kun masalasiIkki kishining tugʻilgan kuni bir xil boʻlishi ehtimoli yuqori boʻlishi uchun nechta kishi, yoki raqamning qaytalanishi ehtimoli yuqori boʻlishi uchun nechta aylantirish kerakligi haqidagi masala. 37 katakli gʻildirakda 8 ta aylantirish yarmidan ortiq ehtimol beradi.Toʻliq oʻqish →: hayratlanishning 37 ta yoʻli bor.
Biroz hazil
Nimadir erta takrorlanadi. Oʻsha nimadir tasodifiy.
Manbalar
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”, ruletka savollari.