Masala: stol limiti
$500 lik stolda $10 lik Martingale. U qanchalik tez-tez buziladi, buzilganda qancha yoʻqotadi va limitni oshirish yordam beradimi?
Ketma-ket olti yutqazish uni buzadi: har siklda 1,8%, 100 aylantirishli sessiyalarning taxminan 60% i. Buzilish $630 turadi. Limitni $5 000 ga oshirish buzilishni kamroq (har siklda 0,25%) va kattaroq ($5 110) qiladi. Tikilgan har bir dollarga kutilgan yoʻqotish istalgan limitda 2,70%.
Masala
Oʻyinchi qizilstavkaQizil18 ta qizil raqamga teng pul stavkasi. Fransuzchasi: rouge.Toʻliq oʻqish →ga $10 tikadi va har yutqazishdan keyin stavkani ikki baravar oshiradi, yutgandan keyin esa boshlangʻich stavkaga qaytadi. Stol maksimumi $500. (a) Ketma-ket nechta yutqazish oshirish tizimistrategiyaOshirish tizimiOldingi natijalarga qarab tikilgan summani oʻzgartiradigan har qanday qoida. Salbiy oshirish tizimlari yutqazishdan keyin, ijobiylari yutuqdan keyin oshiradi.Toʻliq oʻqish →ni buzadi? (b) Har siklda ehtimollikmatematikaEhtimollikNatija yuz berish imkoniyati, 0 dan 1 gacha yoki 0% dan 100% gacha. Bitta raqam: 1/37 = 2,70%.Toʻliq oʻqish → qancha? (c) Buzilishda qancha yoʻqotiladi? (d) $5 000 lik limit javoblarni qanday oʻzgartiradi? (e) Biror limit tizimni foydali qiladimi?
(a)–(c) yechimlari
Stavkalar: 10, 20, 40, 80, 160, 320. Yettinchisi 640 > 500 boʻlardi, shuning uchun olti yutqazish uni buzadi. (b) Qizilda p(yutqazish) = 19/37; (19/37)⁶ = 0,0183, yaʼni har siklda taxminan 1,8%. Sikl oʻrtacha taxminan ikki aylantirish davom etadi, shuning uchun 100 aylantirishli sessiyada taxminan 50 sikl boʻladi va p(kamida bitta buzilish) ≈ 1 − 0,9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, bu 63 boshlangʻich birlikpulBirlikTizim yoki oʻyinchi asos qiladigan boshlangʻich stavka. Oshirish tizimlari istalgan stolda qoʻllanishi uchun birliklarda tasvirlanadi.Toʻliq oʻqish →, sikl yutmoqchi boʻlgan $10 ga qarshi.
(d) yechimi
$5 000 da: 2 560 gacha stavkalarga ruxsat beriladi; oʻninchi stavka, 5 120, rad etiladi. Toʻqqiz yutqazish uni buzadi: (19/37)⁹ ≈ har siklda 0,25%, 100 aylantirishli sessiyalarning taxminan 11% i. Buzilishdagi yoʻqotish: 10 + 20 + … + 2 560 = $5 110. Oʻyinchi kamroq uchraydigan falokatni kattaroq falokat evaziga sotib olgan. Koʻp sessiyalar davomida buzilishlarning kutilgan narxi p × yoʻqotish ≈ 0,0183 × 630 = $500 lik limitda har siklga $11,5 va $5 000 da 0,0025 × 5 110 = $12,8; yaxlitlash aniqligida bu bir xil son va u siklning kutilgan yoʻqotishmatematikaKutilgan yoʻqotishKutilgan qiymatning jami tikilgan miqdorga koʻpaytmasi; sessiya yoki davrda oʻrtacha yoʻqotiladigan miqdor.Toʻliq oʻqish →i bilan yutgan sikllar topadigan $10 ning ayirmasidir.
(e) yechimi
Yoʻq. Har siklga kutilgan yoʻqotish = (sikldagi kutilgan jami stavka) / 37, istalgan limitda, chunki har bir stavka oʻzining −1/37 i. Limit faqat yoʻqotish koʻplab kichik yutuqlar va kamdan-kam katta yoʻqotishlar orasida qanday taqsimlanishini hal qiladi. Limit boʻlmasa va oʻyin budjetipulOʻyin budjetiOʻyinga ajratilgan jami miqdor. Oʻyin budjetini boshqarish – uning har bir stavka va sessiyada qanchasini xavfga qoʻyishni belgilashdir.Toʻliq oʻqish → cheksiz boʻlsa, oshirish tizimi “ishlardi”, yaʼni hech qachon buzilmasdi, ammo u cheksiz summani ham tikardi va kutilgan yoʻqotish oʻsha cheksiz summaning 2,70% i boʻlardi. MartingalestrategiyaMartingaleHar bir yutqazishdan keyin stavkani ikki baravar qiladigan oshirish tizimi. Nima qilishi va qilmasligi uchun Strategiya boʻlimiga qarang.Toʻliq oʻqish →ning ishlashiga stol limitistolStol limitiRuxsat etilgan eng kam va eng katta stavka. Eng katta limit ikki baravar oshirish tizimlarini toʻxtatadi.Toʻliq oʻqish → toʻsqinlik qilmaydi. Arifmetika toʻsqinlik qiladi.
Ikki haqiqiy stol
Thorpning misolida $1 lik, maksimumi $1 000 boʻlgan stol bor; u yerda oʻyinchi kechki ovqat uchun $30 ni bir dollardan yutishga umid qiladi. 1, 2, 4 … 512 stavkalari oʻnta stavkaga imkon beradi, shuning uchun ketma-ket oʻn yutqazish oshirish tizimini buzadi: Yevropa gʻildiragida 785 siklda bir marta (Amerika gʻildiragida 613 siklda bir marta), narxi $1 023. Oʻttiz siklning hammasi 96,2% hollarda muvaffaqiyatli oʻtadi. Qolgan 3,8% da taxminan $1 000 yoʻqotiladi, kechaning oʻrtacha natijasi esa −$9,17, bu oʻttiz sikl oʻrtacha tikadigan $339 ning aynan 1/37 i. Maksimumi $2 000 boʻlgan $5 lik stol ham farq qilmaydi: $1 280 gacha stavkalar toʻqqizta stavkaga imkon beradi, buzilish esa Yevropa gʻildiragida 403 siklda bir marta (Amerika gʻildiragida 323 siklda bir marta) sodir boʻladi va $2 555 turadi.
Boy oʻyinchi
Oshirish tizimiga past limit oʻrniga katta budjet bering: 1 000 birlik, bir birlikli boshlangʻich stavka va qizilga 1 000 aylantirish; keyingi ikki baravar stavka qolgan puldan koʻp boʻlganda yana bir birlikdan boshlanadi. Biz bunday kechalardan bir millionini simulyatsiya qildik. Yevropa gʻildiragida 52% i yutuq bilan tugaydi, 21% i hammasini yoʻqotadi, oʻrtacha natija esa −124 birlik. Hatto nolgʻildirakNolHech bir teng pul, oʻn ikkilik yoki ustun stavka qoplamaydigan yagona yashil katak; kazino ustunligining manbai. Shuningdek: bitta nol, 0.Toʻliq oʻqish →siz oʻyinda ham, har bir stavka adolatli boʻlganda, faqat taxminan 60% i yutuq bilan tugardi. Odatiy kecha – kichik yutuq; oʻrtachani esa budjet nolga tushib tugaydigan kechalar toʻlaydi.
Saboq
Kazinolar limitlarni tizimlarni yengish uchun emas, oʻz dispersiyamatematikaDispersiyaNatijalar kutilgan qiymat atrofida qanchalik keng tarqalishini oʻlchaydigan miqdor. Bitta raqamga stavkada yuqori, teng pul stavkalarda past.Toʻliq oʻqish →sini cheklash uchun belgilaydi. Martingaleni yengish ular mamnuniyat bilan qabul qiladigan qoʻshimcha taʼsir, arifmetika esa uni baribir yengardi. Muammo limitda, deb oʻylaydigan oʻyinchi jarlikni topgan-u, uni qiyalik deb adashtirgan.
Formula
Savollar
U yuqoriroq limitgacha omon qolishga imkon beradi, u yerda buzilish kamroq uchraydi, lekin kattaroq boʻladi. Har dollarga kutilgan yoʻqotish oʻzgarmaydi.
Stavkalar 10, 30, 70, 150, 310: $500 lik limitga besh yutqazishdan keyin yetiladi, buzilish esa $570 turadi. Xuddi oʻsha 2,70%.
Bitta oʻyinchi kazino zaxirasi bemalol toʻlay oladiganidan koʻp tika olmasligi uchun. Dispersiyani boshqarish.
Qiziqarli matematika
Avval oʻzingiz yechib koʻring. Har bir yechim yopiq turadi; tayyor boʻlganingizda oching.
MartingalestrategiyaMartingaleHar bir yutqazishdan keyin stavkani ikki baravar qiladigan oshirish tizimi. Nima qilishi va qilmasligi uchun Strategiya boʻlimiga qarang.Toʻliq oʻqish → qizilstavkaQizil18 ta qizil raqamga teng pul stavkasi. Fransuzchasi: rouge.Toʻliq oʻqish →ga $100 dan boshlanadi va bir siklda koʻpi bilan n ta stavkaga ruxsat beradi: ketma-ket n ta yutqazishdan keyin u voz kechadi va qaytadan boshlaydi. Bir siklning oʻrtacha natijasini n orqali formula sifatida yozing va Yevropa gʻildiragida 5, 6 va 7 stavka uchun hisoblang.
Yechimni koʻrsatish
Javob Oʻrtacha 100 × (1 − (38/37)ⁿ): 5 stavka uchun −$14,26, 6 uchun −$17,35 va 7 uchun −$20,52. Koʻproq stavkaga ruxsat berish oʻrtacha siklni yaxshilamaydi, balki yomonlashtiradi.
n ta stavkaning hammasi yutqazgan holatdan boshqa barcha hollarda sikl $100 yutadi; hammasining yutqazish ehtimoli qⁿ, bu yerda q = 19/37. Hammasi yutqazganda 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ tikilgan summalar 100 × (2ⁿ − 1) ga yigʻiladi. Demak, oʻrtacha 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Bu yerda 2q = 38/37, 1 dan sal koʻp, shuning uchun (2q)ⁿ n bilan oʻsadi va oʻrtacha pasayadi: n = 5 da 1,1426 va −$14,26; n = 6 da 1,1735 va −$17,35; n = 7 da 1,2052 va −$20,52. Uzunroq zinapoya kamroq hollarda yutqazadi – sikllarning 3,6%, 1,8% va 0,9% ida – lekin har bir yutqazish ikki baravar katta va har siklda stol ustidan koʻproq pul oʻtadi, har bir stavkadan 2,70% bilan.
Amerika gʻildiragida 2q = 40/38 va raqamlar −$29,24, −$36,04 va −$43,20 (Taylor, 2021). NolgʻildirakNolHech bir teng pul, oʻn ikkilik yoki ustun stavka qoplamaydigan yagona yashil katak; kazino ustunligining manbai. Shuningdek: bitta nol, 0.Toʻliq oʻqish →siz oʻyinda 2q = 1 va zinapoya qanchalik uzun boʻlmasin, har bir sikl oʻrtacha aynan nolga teng.
“Grand Martingale” yutqazishdan keyin tikilgan summani ikki baravar oshiradi va bir birlikpulBirlikTizim yoki oʻyinchi asos qiladigan boshlangʻich stavka. Oshirish tizimlari istalgan stolda qoʻllanishi uchun birliklarda tasvirlanadi.Toʻliq oʻqish → qoʻshadi, shuning uchun stavkalar 1, 3, 7, 15, 31 … boʻladi. Birinchi yutuq 1-, 2-, 3- yoki k-stavkada kelsa, qancha foydadasiz? $10 lik birlik va $500 maksimumda sikl qanchalik tez-tez barbod boʻladi va bir sikl oʻrtacha qanchaga tushadi?
Yechimni koʻrsatish
Javob k-stavkadagi yutuq sizni k birlik foydada qoldiradi: +1, +2, +3 va hokazo. $10 va $500 da sikl beshta yutqazishdan keyin barbod boʻladi, sikllarning 3,57% ida, −$570 bilan. Oʻrtacha sikl tikilgan $85,73 dan $2,32 yoʻqotadi: 2,70%.
k-stavkadagi tikilgan summa 2ᵏ − 1 birlik: 1, 3, 7, 15, 31. Dastlabki k − 1 tikilgan summa 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1 ga yigʻiladi. k-stavkadagi yutuq 2ᵏ − 1 toʻlaydi, demak sikl (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k birlik foyda bilan tugaydi: yutuqdan oldingi har bir yutqazish uchun bitta qoʻshimcha birlik.
Birlik $10 boʻlganda tikilgan summalar $10, $30, $70, $150 va $310; keyingisi, $630, $500 maksimumdan oshadi. Ketma-ket beshta yutqazish, (19/37)⁵ = 3,57%, 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570 ga tushadi.
Oʻrtacha: k = 1 dan 5 gacha yutuqlar (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 ehtimollik bilan $10 × k keltiradi, barbod boʻlish esa 3,57% ehtimollik bilan $570 oladi; birgalikda −$2,32. Tikilgan pul oʻrtacha har siklda $85,73 va 2,32/85,73 = 2,70%. Xuddi shu stoldagi oddiy Martingale oltita yutqazishdan keyin, sikllarning 1,83% ida, −$630 bilan barbod boʻladi va tikilgan $64,20 dan $1,74 yoʻqotadi: yana 2,70%.
Oʻyinchi limiti $1 000 boʻlgan stolda qizilga birinchi stavkasi $1 boʻlgan Martingale rejalashtiradi, shuning uchun oʻnta stavka mumkin: $1, $2, $4 va hokazo $512 gacha. Sikl qanchalik tez-tez oʻntasining hammasini yutqazadi, bunga oʻrtacha qancha vaqt ketadi va 200 stavkali oqshom qanchalik tez-tez shunday tugaydi?
Yechimni koʻrsatish
Javob Sikl oʻntasining hammasini taxminan 784 martada bir marta yutqazadi va bu $1 023 ga tushadi. Bu oʻrtacha taxminan 1 600 stavka va 200 stavkali oqshom taxminan 11% hollarda devorga uriladi. Sikl baribir tikilgan $11,31 dan oʻrtacha $0,31 yoʻqotadi: 2,70%.
Qizilga stavka 19/37 ehtimollik bilan yutqazadi, nol ham shunga kiradi. Ketma-ket oʻnta: (19/37)¹⁰ ≈ 0,00128, taxminan 784 dan 1. 1 + 2 + 4 + … + 512 tikilgan summalar $1 023 ga yigʻiladi.
Sikl oʻrtacha 2,05 stavka davom etadi, demak 784 sikl taxminan 1 600 stavka oladi. Aylantirishlarni birma-bir hisoblaganda, ketma-ket oʻnta yutqazish 200 stavka ichida biror joyda 11,3% hollarda uchraydi.
Ofatlar orasida oʻyinchi har siklda $1 yutadi: yomon sikldan oldin taxminan $783, keyin −$1 023, butun davr boʻyicha taxminan −$240. Bir siklga: 1 × (1 − 0,00128) − 1 023 × 0,00128 ≈ −$0,31. Bir siklda tikilgan pul: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11,31. Va −0,31/11,31 = −2,70%.
Taqqoslang: $500 limitda $10 lik birinchi stavka, oltita stavka: devor 55 siklda bir marta keladi va 200 stavkali oqshom unga 84% hollarda uriladi. Yuqoriroq limit qulashni kamyobroq va kattaroq qiladi, arzonroq emas.
Biroz hazil
Har qanday limitda kamroq va kattaroq. Koʻpaytma oʻzgarmas.
Manbalar
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.